作为一门古老的学科，数学的内容包括创造某种模式，并利用这些模式来表述和证明猜想，从而产生定理。
自20世纪60年代以来，数学家们一贯利用打算机来帮助创造猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（贝赫和斯维讷通-戴尔猜想），这个猜想是千禧年数学大奖的七个问题之一，是数论领域的著名问题。
但是，时至今日，打算机证明根本数学主要定理的例子也并不多见。
现在，DeepMind的一项成果展示了更多的可能性：打算机科学家和数学家们首次利用AI来帮助证明或提出新的数学定理，包括繁芜理论中的纽结理论（knot theory）和表象理论（representation theory）。

这些让人惊喜的结果，本日揭橥在著名的科学杂志Nature上，其论文标题为“Advancing mathematics by guiding human intuition with AI”（人类直觉与AI推动数学的提高）。
在该论文中，作者团队提出采取一种机器学习模型，来创造数学工具之间的潜在模式和关联，用归因技能加以赞助理解，并利用这些不雅观察进一步辅导直觉思维和提出猜想的过程。
乔迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大学数学研究所所长，也是天下上最主要的数学家之一，他在纯数学领域有着非凡的成绩。
作为该论文的合著者，他成功发挥Deep Mind的AI力量，在其的专业领域——表象理论中展开了大胆的探索猜想。

图丨Geordie Williamso

而熟习人工智能的读者对DeepMind并不陌生。
这个AlphaGo背后的打算机科学家团队，曾在2016年围棋比赛中，让AI成功击败天下冠军。
在那之后，DeepMind一贯秉承的理念是，要用AI助力办理重大科学问题。
根本数学无疑属于重大科学问题的范畴（乃至可以说是地基）。
正如Geordie Williamson教授所说：“数学问题一度被认为是最具智力寻衅性的问题……虽然数学家们已经利用ML来帮助剖析繁芜的数据集，但这是我们第一次利用打算机来赞助形成猜想，或为数学中未经证明的想法提出可能的打破路线。
”

助力顶尖数学家证明数学猜想

这次研究中，AI帮助探索的数学方向是表象理论。
表象理论属于线性对称理论，是利用线性代数探索高维空间的数学分支，而Williamson教授是环球公认的表象理论的领导者。
在2018年，他成为伦敦皇家学会（Royal Society）最年轻的在世会员，该学会则是天下上最古老、可以说是最负盛名的科学协会。

Williamson教授说：“在我所研究的领域中，为了证明或回嘴长期存在的猜想，有时须要考虑超过多维度的无限空间和极其繁芜的方程组”。
虽然打算机长期以来一贯被用来为实验数学天生数据，但识别有趣模式的任务紧张依赖于数学家自己的直觉。
众所周知，数学家的直觉在数学创造中起着极其主要的浸染——“只有结合严格的形式主义和良好的直觉思维，才能办理繁芜的数学问题”。

然而，现在的情形有所改变。
如上图所示，论文中描述了一种通用的框架方法，在这个框架方法之下，数学家可以利用ML工具来辅导他们对繁芜数学工具的直觉，验证关系存在的假设，并理解这些关系。
Williamson教授就利用DeepMind的AI，在证明关于Kazhdan-Lusztig多项式的古老猜想的道路上离目标越来越近，当然，这些猜想涉及高维代数中的深度对称性。
可以说，Kazhdan-Lusztig（KL）是代数群表示论近40年来最主要的发展之一。
而来自牛津大学（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，则进一步研究了这一过程。
他们创造了纽结的代数和几何不变量之间惊人的关联，建立了数学中一个全新的定理。
这些不变量有许多不同的推导办法，研究团队将目标紧张聚焦在两大类：双曲不变量和代数不变量。
两者来自完备不同的学科，增加了研究的寻衅性和意见意义性。
图2给出了不变量的一些示例。

研究团队假设，在一个纽结的双曲不变量和代数不变量之间存在着一种未被创造的关系。
监督学习模型能够检测到大量几何不变量和署名之间存在的模式。
如下图所示，由归因技能确定最干系的特色。

通过打算归因技能确定的最干系的显著子图，剖析这些图与原始图比较的边缘分布，有助于进一步探索构造证据。

在纽结理论中，不变量不仅用于办理纽结之间的差异问题，还可以帮助数学家理解纽结的性子，以及它是如何与数学的其他分支相联系的。
纽结理论本身就散发着无穷的魅力，毫无疑问，物理科学领域也深深地被其吸引着，纽结理论得到了广泛的运用，从理解DNA链、流体动力学，一贯到太阳日冕（the Sun’s corona）中的力的相互浸染等。
Juhász教授说：“纯数学家的事情办法是制订猜想并证明这些猜想，从而得出定理。
但是，这些猜想从何而来呢？”文章已经证明，在数学直觉思维的辅导下，ML供应了一个强大的框架，可以在有大量数据可用的领域，或者工具太大而无法运用经典方法研究的领域，创造有趣且可证明的猜想。
Lackeby教授也表示：“利用ML来创造数学不同领域之间新颖和意想不到的联系，一贯是一件很有趣的事情。
我相信，我们在牛津大学和悉尼大学与DeepMind联合完成的事情中足以证明，ML可以成为数学研究中真正有用的工具。
”

AI勇闯数学王国

论文的一作是来自DeepMind的Alex Davies博士。
他认为，AI技能已经足够前辈，足以有力地推动许多不同学科的科学进步。
个中，纯数学便是一个典例。
“我们希望这篇Nature杂志论文能给其他研究者带来灵感和启示，充分意识到AI在其研究领域中所担当有用工具的潜力。
”Williamson教授说：“AI堪称为一款非凡的工具。
这项事情第一次证明了，它对像我这样的纯数学家的有用性。
履历直觉可以带我们走很长一段路，但AI可以帮助我们找到人类思维可能并不总是随意马虎创造的关联。
”如其所言，直觉在许多人类追求的超常表现中扮演着重要的角色。
例如，它对顶级围棋选手至关主要，AlphaGo之以是成功，部分源自于它能够利用ML来学习人类直不雅观表现的游戏元素。
同样地，它也被认为是顶尖数学家的关键——拉马努扬被誉为“直觉王子”，引发了著名数学家思考直觉在其研究领域地位的好奇心。
但与围棋比较，数学又是一种分歧凡响的、更具互助性的事情，因此AI在帮忙数学家完成干系方面的事情，的确具备卓有成效的空间和潜力。
对付AI和数学之间的关系能否融通共进的谈论，在CCAI2019学术会议上，徐宗本院士也曾年夜方冲动大方地带来主题为《AI与数学：融通共进》的报告，他提出，AI与数学在方法论上具有惊人的同等性。
AI的根本是数学，要想行稳致远，紧张考虑的是办理好数学问题；而AI的发展一定也会助力数学领域的研究。
论文中团队也有着类似的希冀，他们表示，希望这项事情可以作为深化数学和AI领域之间互助的一个模型，充分发挥数学和ML各自的上风，以达到让人惊叹的效果。
Williamson教授说，“对我来说，这些创造给出了足够的提醒，智力并非是单一的变量，就像一个智商数字。
显然，智力的最佳定义，该当是将其视为一种多轴的多维空间：学术智力（academic intelligence）、情绪智力（emotional intelligence）、社会智力（social intelligence）。
我希望AI能为我们供应另一个可以互助的智能轴，这个新的轴将有力地加深我们对数学天下的理解。
”