一、当代几何的历史

首先，前面几分钟讲讲几何学历史。
几何学一开始，就类似本日的人工智能，有很多工程上的运用以及产生的很多定理。
不过随后欧几里得将当时紧张的平面定理组合往后创造这些定理都可以由5个公理推出来。
这是人类历史上很主要的一个里程碑，在很繁复的征象里，他找到了很大略但却很基本的五个公理，从而能将原来的这些公理全部推出来。
我是很鼓励我们做人工智能的也能重复这个做法——从现在繁芜多样的网络中找到它最大略的公理。

由于希腊人的工具不足，以是除了二次方程定义的图形（圆形、直线、椭圆等）以外，他们没有能力处理更一样平常的图形。
一贯到阿基米德，才开始做微积分的无限算法（积分体积），同时他们也开始做射影几何的算法。

微积分的涌现使几何学进入了新纪元，微分几何也因此出身。
几何学在欧拉和高斯手上突飞年夜进，变分方法和组合方法被大量地引入到几何学当中。

当代几何（近两百年的几何）紧张发源于黎曼在1854年的博士论文，这篇论文奠定了全体当代几何的根本，他把几何图像算作一个抽象但是能够自足的空间。
这个空间后来成为了当代物理的根本，现在物理中研究引力波等都是从黎曼这里开始的，没有黎曼这个空间，爱因斯坦不可能研究出来广义相对论。
同时如果我们细看黎曼的这篇论文的话，就会创造，黎曼还认为离散空间也是一个很主要的空间。
这个离散的空间包括了我们现在研究的图论，也用来研究宇宙万物可能产生的统统。
以是纵然是150年往后的本日，我们依然能看到黎曼的这个不雅观点很主要。

二、对称的观点

几何学能够供应很多主要的想法，可以讲其影响是无所不在的。
几何学的很多观点在高能物理和一样平常的物理学领域都产生主要的影响。
个中一个主要的观点叫做“对称”。
“对称”的观点是在1820年到1890年间由几个主要的数学家发展出来的。
我们中国喜好讲的阴阳，实在便是一个属于对称。
在数学上有一个叫庞加莱对偶的观点，实在便是阴阳，但这个观点要比阴阳详细得多，同时也真正用在了数学的发展上。

19世纪，Sophis Lee发展的李群，也是物理学界最主要的工具之一，在当代物理中险些没有一个学科可以离开李群的。

在几何学上，1870年的时候，伟大的数学家克莱因揭橥了《埃尔朗根纲领》，在这个纲领里克莱因提出用对称来统治几何的主要事理，随后产生了很多主要的几何学，包括仿射几何、保角几何和投影若干好多么。

这些几何对付图像处理都有密切的关系。
我以及我的学生和朋友这十多年来便是用保角几何及各类几何来处理不同的图像。
纵然是当年看上去不主要的几何，现在实际上都有它主要的用途。
这各类的打算都是从对称这个观点发展出来的。
从大范围对称到小范围对称，这些在20世纪的根本研究中都有很成功的影响。

三、平行移动

其余一个很主要的观点，我想是很多做工程的人都没有把稳到的，便是平行移动的观点。
这个观点影响了全体数学界两千年。
平行移动的观点实在便是一点和其余一点要有一个很好的比较的方法；打算机也好，图形学也好，在某一点上看到的事情要和其他点进行比较，比较的方法就叫平行移动。
这也是一个很广泛、很主要的观点。
现在在打算数学里面还没有大量的引进，但是在物理学界已经被大量地利用上了。
以是我期望这些基本的观点往后能在打算机里面大量地利用。

四、几何学与打算机相互之间的影响

现在我们详细来讲一些的事情。
当代几作甚打算数学奠定了很多理论的根本，并且辅导了打算机科学未来发展的方向。
当代几何广泛运用到打算机的所有分支。
举例来讲，打算机图形学、打算机视觉、打算机赞助几何设计、打算机网络等等都有广泛的运用。
再例如，黎曼几何可以用来理解社交网络；当代几何理论也可以用来理解人工智能的特性。
要记住，我们讲的几何并不是高中时期的几何，所有与图像或者网络有关的都是几何的一部分。

从另一方面来看，打算机学科的发展为当代几何供应了需求和寻衅，也推动了跨学科的发展方向。
例如：

人工智能中的机器定理证明推动了打算代数的发展；

数据安全、比特币、区块链的发展推动了代数数论、椭圆曲线和模形式的发展；

社交网络、大数据的发展催生了持续同调理论（persistent homology）的发展；

动漫、游戏的发展推动了打算共性几何学科的出身和发展；

机器学习的发展推动了最优传输理论的发展等等。

五、打算机&几何学研究案例

我们下面举几个详细的例子，分别是图论、打算机图形学、打算机视觉、人工智能、深度学习等。
这几个和几何都有密切的联系。

1、图论

我们先讲讲图论。
图，便是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来，这是最大略不过的事情。
对付一个图，譬如交通图，我们要找出它们有着怎么样一个构造，什么地方比较拥挤。
有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分，然后分解成大略的子图；如何衡量各个连通分支间的连接度；如何将图染色等。
这些问题实际上都跟图上的特色函数有密切的关系。

图上的特色函数跟光滑图形上的特色函数有很类似的地方。
我在40年前跟几个朋友，郑绍远、李伟光，做了一个事情，将光滑黎曼流形的特色函数推广到图上，得到了很好的结果。
这些结果可以用来决定图上的贯串衔接的天生，研究图上的边创造过程，尤其是有个量的估值来掌握在图上发散的过程。
约束发散的过程可以运用到许多实际的过程中。
我们还研究了图上的薛定谔方程，定义了图上的量子隧道观点。
这些观点都是从物理上来的，被借用到图上。

如果我们在考虑有向图，便是每个点、每个边，给它一个方向，我们就可以将拓扑学全体引用到图上去，定义了图上的同调群。
同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。

现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。
进化图论为表达种群构造供应了数学工具：顶点代表个体，边代表个体的交互浸染。
图可以用来代表各种具有空间构造的群，例如细菌、动植物、组织构造、多细胞器官和社交网络。
在进化过程中，每个个体依据自身的适应程度，进行繁殖病侵略莅临近顶点。
图的拓扑反响了基因的蜕变——变异和选择的平衡。
类似的，互联网是一个大网，一个非常繁芜的网络，我可以在上面研究它的变革。
社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。
个体和邻居博弈，根据收益而繁殖。
个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互浸染影响，从而产生博弈的动态蜕变。
个中心的问题就在于对付给定的图如何决定哪种策略会取获胜利。

我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章，我们得到一个结果，便是在任何给定的图上进行弱选择，自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选，这个理论框架适用于人类决策，也适用于任何集群组织的生态蜕变。

我们从弱选择极限得到的结果，阐明了何种组织构造导致何种行为。
我们创造，如果存在成对的强纽带构造，互助就会大规模涌现。
我们用数学证明了社会学方面的一个结论：稳定的伙伴或者伴侣，对付形成互助型的社会起到了骨干浸染。

2、打算机图形学：全局参数化 – 共形几何

下面我要讲的是“打算机图形学：全局参数化 – 共形几何”。
这是我们发展了二十多年的一个学问。
我和顾险峰从他还在哈佛念博士的时候（1999年）我们就开始做这个事情。

当我们将图形整体光滑映射到参数区域，使几何变得很小，会毁坏掉全体图形；一样平常来讲这个要用手工来做，否则的话它变革非常大。
针对这个问题，我们利用了纹理贴图、法向量贴图等等的方法。
共性几何是一个很主要的从很古典的黎曼几何中产生的几何。

举例来讲，这个大卫的雕像，我们将它保角地映射到平面上去。
它表面上看彷佛变革很大，但实际上变革不大，由于它是保角不变的。
这在图像处理中是一个很主要的事情。
举个例子来讲，从图上要画格点，由于我们画到平面上去往后，我们就可以将平面上画的很好的格点映射到脸上，就可以变成很俊秀的四方形的格点。
这对工程处理有很多好处，其好处便是它将图上很小的圆映射到对方图上还是一个很小的圆，不会有扭曲，不会有太大的变革。

前面这些运用到一个数学上很重的定理，叫做庞加莱单值化定理，这是一个从黎曼时候开始的定理。
便是讲映射的图形只跟它的拓扑性有关，这上面有三种几何，分别为：球面几何、欧氏几何、双曲几何。
所有二维的几何，不管是什么样子的，我们都可以用这三种几何来分类。
因此我们就可以将很繁芜的事情很大略地描述出来。

上面这些我们得出了很好的结果。
但是保角也有它的缺陷，以是我们也发展了第二类映射，我们使得面元被保持，而角度不一定被保持。
保角映射有时候可能将一个面拉的很远，左手边是保角映射，右手边是保面元映射。
右面的图在不同的环境下会得出很好的结果。

3、打算机视觉，表情追踪 – 拟共映射

共性映射也可以运用到表情识别和追踪当中。
我们可以自动地找到球面上曲面间的光滑映射，使得特色点匹配，使映射带来的变革很小。
这是我们得到的一个很主要的结果。

因此，我们可以用来追踪表情，表情捕捉。
一个人他在笑、在哭、在各类不同的表现的时候，我们能够得到他的主要的面部特色，紧张的方法便是我们将它映射到平面上，然后用共形映射或拟共形映射来研究它。
这些都是很主要的数学工具，在打算上也有很主要的运用。

拟共形映射到目前来讲，纯数学家把它看得还是非常主要的，它不是一个正则方程，而是一个伪正则方程，也即Beltrami方程。
这个方程在我们研究图像变形时在数学上是非常主要的，以是我们运用到图形处理里面去也得到很主要的结果。
我们可在微分同胚的空间进行变革到最优的映射。
它对医疗和动漫都有很主要的运用。

4、打算力学 – 六面体网格天生，叶状构造理论

我们也可以用同样的变革（保角映射）来产生六面体网格的天生和叶状构造理论。

这是在一只兔子上找到的好的网格。
但是这个网格会产生一些奇异点（拓扑学的缘故）。
针对这些奇异点，我们就做了一些研究，得出了很好的结论。

再比如，我们看这个曲面，在这个曲面上我们画出一些叶状的构造，可是它也有一定的奇异点。
我们将这些奇异点分类，得出了一些在打算机科学上故意义的结论。

此外，全纯二次微分的网络中间有个六边形的变革。

5、数字几何处理-几何压缩：蒙日-安培理论，几何逼近理论

下面我们来看打算机的几何压缩中的蒙日-安培理论以及几何逼近理论。
如何压缩繁芜几何数据，同时担保几偏差最小，担保黎曼度量、曲率测度、微分算子的收敛性，这些都是很主要的问题。
我们用了很多共形映射的方法将曲面映射到平面去；再用蒙日-安培方程，将高曲率区域放大；随后重采样，在共性参数域上打算Delaunay三角剖分。
这样得到的简化多面体网格就能够担保黎曼度量、曲率测度、微分算子收敛。

6、区块链：数字安全，椭圆曲线理论

这方面很多人都知道，这部分我就跳过去不再讲了。

7、人工智能

目前机器学习算法须要大量的样本。
虽然现在比从前进步得多了，但规模还是很弘大。
以是我们的想法是，让理论来帮忙处理这种繁芜的数据学习。

在机器学习中有很多统计的内容，但是很多内容我们都不是很理解它是如何产生的。
以是我们须要用一些比较严格的数学的理论来从这些繁芜的征象中抽取出它们的实质。
我们本日先容一下用几何的方法来研究对抗天生网络（GAN）的事情。

天生对抗网络GAN（Generative Adversarial Networks）实在便是以己之矛克己之盾，在抵牾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强韧。
这里的盾就被称为判别器（Descriminator），矛被称为天生器（Generator）。
天生器G一样平常是将一个随机变量（例如高斯分布或者均匀分布），通过参数化的概率天生模型（常日是用一个深度神经网进行参数化），进行概率分布的逆变换采样，从而得到一个天生的概率分布。
判别器D也常日采取深度卷积神经网络。

举个例子来讲，有个概率分布u，u是基本的白噪音，影射到右手边的图片，一个概率分布v。
我们从映射里看到GAN的问题实在便是：在两个概率分布u和v之间，找到一个最优的传输映射，从一个空间到其余一个空间，使它的概率分布是保持的。

u通过phi映射到v上去，同时我们要将它传输的代价变得最小。
这样的变革是我们所须要的，由于这就不再须要像刚才所说的抵牾变革来达到最好的结果。
我们知道，映射可以用一个方程来办理，以是我们实在便是要找一个凸函数U，它的梯度是我们的映射函数phi，它知足一个方程：蒙日-安培方程。

我们可以通过对这个方程进行求解的办法来找到最优传输映射，以是就节省很多天生对抗的韶光。
蒙日-安培方程本身实在是等价于微分几何中的亚历山大定理的。
60年代就有人处理过这个方程，我自己也做过这个方程，前几年顾险峰跟他的学生也和我一起对它做了一个打算。

对抗天生网络本色上便是用深度神经网络来打算概率测度之间的变换。
虽然规模伟大，但是数学实质并不繁芜。
运用相对成熟的最优传输理论和蒙日-安培理论，我们可以为机器学习的黑箱给出透明的几何阐明，这有助于设计出更为高效和可靠的打算方法。

六、总结

我们看到当代数学和打算机科学的发展紧密干系，共形几何的单值化定理、蒙日-安培理论、最优传输理论等当代几何中的定理运用到打算机科学中的很多领域。
我希望我们能够将更多那些表面上看来很博识的数学运用到我们日常的打算机上去，不但是能够有效地提出打算机的算法，同时也能够给它一个理论的根本。
人工智能须要一个坚实的理论根本，否则它的发展会有很大困难。