让我们从这里迈出第一步：

我们已知物理学中的天下是如何运行的。
通过利用科学的方法可以提出假设，我们解释一个详细的征象是如何发生的，然后再设计一个可控的实验，通过实验数据来证明或证伪这个假设。

可以说，物理学和自然蜕变的进程是息息相关的，我想起在大学时一个教授用下面这句话开始自己的报告：

而这便是物理学在试图解答的问题。
“万物”如何“动”呢？

人们用特定的方程——为人熟知的微分方程来描述万物运动的办法。
让我们先来试图理解什么是微分方程。

“微分”描述了一类与减法有关的东西。

一个函数的导数在物理学当中有着分外的意义。

举个例子，速率表示的是空间对付韶光的导数。
让我们考虑如下实验：一个物体沿着一根一维线条运动。

也便是说这个蓝色的小球正在沿x轴运动。
常日，我们把初始点设置为0。
当这个小球运动时，它的位置会随着韶光改变，假设这个位置随韶光变革的图像如下：

于是这个运动可以被描述得更加清晰：

A.在时候0至时候5之间，位置从0变革至9：小球向前运动。

B.时候5至15，位置没有改变：小球静止了。

C.时候15至17，位置由9至3：小球往回运动。

D.时候17至47位置由3至6：小球又提高了。

这个小球何时如何改变自己的位置是不是被清晰定量了呢？乃至位置变革量都很清楚。
实在这便是速率的信息，我们用下面的表达式来描述：

看起来彷佛有些繁芜。
但实在速率只是两个非常附近的时候对应的（表达式中h趋于0的极限）位置变革量除以两个时候的差（h），以是我们用微分方程来描述。
换句话说，速率是用韶光间隔归一化后的位置瞬时变革量。

如果在某个特定时刻，位置有一个剧烈的增加，意味着其导数是非常大的正数；位置没有改变时，导数为零；位置减小，导数为负。

在上面的例子当中，每段位置的变革是线性的，也便是说时候段0-5、5-15、15-17、17-47间的速率各自不变。

以t=0至t=5为例，期间对付每一时候t，位置的瞬时变革量都是9/5，其他时段亦可以用同样的意思理解上面的函数。

上面的例子非常大略，让我们来考虑下面这个例子看看：

这样的轨迹就很难建模了，也没有解析的方法去打算导数：你只能用数值的办法来打算——在所有韶光点用公式(1)给出导数。
顺便一提，我想你已经完备准备好面对残酷的现实：

但数值求解可能须要实行千万次迭代。
不仅如此，还须要高等的方法来求解微分方程，像有名的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，每每汇合成于很繁芜的软件当中（比如用于有限元方法的POGO），这些软件：

打算本钱高

经济本钱高

须要专业知识

韶光本钱高（以有限元方法为例，每每花费数分钟至数小时不等）

而上述的问题乃至不是最糟糕的。
难过的是会涌现不适定（ill-posed）的情形。
下面我举个例子。

比如哀求解x和y的问题：

是不是挺大略？

•x+y=4

•于是 x+2y=x+y+y=8

•4+y=8

•得到 y=4

•x=0

方程组的解为 (x,y) = (0,4)，此时这个问题是适定的。
由于知足这种条件的解是惟一的，也便是上面得到的解。

但以下问题就不一样了：

两个方程实在是一样的！
虽然 (x,y) = (0,4)还能作为一个解，但是(1,3)也可以，这个方程组实际上有无穷多个解。
这个问题便是一个不适定问题，对付这样一个确定的问题，具有不但一个解（实际上有无穷多个解）。

如果是求解下面这个问题：

这类所谓的反演问题可以用于从位移图推导出速率图，而上面的这个反演问题可以用于超声波探测中表征材料中的一个侵蚀毛病。
纵然是最完美的实验设置（无限多个传感器），这个问题也是不适定的。
换句话说便是，信息不能够推导出一个唯一且可靠的速率分布图（）。

现在说说人工智能（AI）。

这句话可以很大略地先容人工智能：

人工智能算法不须要详细的程序就可以实行特定的任务。

自动驾驶汽车在没有数学和明确演习情形下，也可以在任何人走到车前时刹车，这是由于它通过了百万人的“演习”。

准确地说，所有人工智能算法都依赖于丢失函数(Loss Function)。

这个特定的函数用于表示目标值（target，希望输出的值）和算法输出值之间的差，须要通过优化来达到最小值。

如果给定一座具有特色的屋子，希望预测其花费（一个很有名的房产数据集问题）。
这是一个由输入空间至连续空间的回归（regression）问题。

图源作者

如果给出的预测价格为130k而实际代价为160k，那么均匀绝对值偏差MAE定义为：

在这个问题中为30k。

这个式子表示，我们的模型是一个命名为的神经网络，处理输入数据，并输出一个预测值。
在上述的例子中，，而。

如果有许多的房屋具有这一系列的预测花费，那么全局丢失函数就会大概长这样：

丢失函数依赖于建立模型的一系列参数W。
丢失函数越低，就解释模型建立得越好。

于是，丢失函数就会不断优化，某种意义上降到越低越好。
参数会被不断迭代，来使丢失函数降到最低（局域最小值）。

如果你看到这里：

你值得一阵掌声

你可能会有疑问：人工智能（神经网络）和微分方程（物理）到底有什么关系？

在回答这个问题之前,我们须要理解另一个观点——正则化（regularization）。

在上一部分，我们理解到所有机器学习算法终极都是一个优化问题。
意思便是去探求最小化丢失函数的最佳参量组。

但会涌现一个问题，可能这个解在演习集中达到最佳，但是并不适用于测试集（过拟合），此时的最佳值只是局域最佳的。

再深入阐明一些：

假设初始模型由两个参数产生，你在如下的空间中探求解：

图源作者

得到的参数、在演习集中运用的丢失函数得到的丢失值L靠近0.

如果将这个参数组合运用于测试集（一系列新数据），丢失函数变得非常大。
就解释丢失函数的定义并不准确，其实在这个问题中，真正最优解如下：

图源作者

那么如何避开赤色标记的缺点点而得到最优点（绿色标记）呢？

图源作者

如果算法只在绿色圆圈中“探求”就好了，这样就不会落入缺点的赤色圈套（局域最优）了。

这便是正则化——修正丢失函数使得其空间解被限定，从而更可能求解出全局最优而非局域最优。

还记得上面方程(2)所表示的反演问题吗？一些学者正在考试测验求解。

初始时，在一些特定位置已知位移（u），他们希望在算法未知区域插值u来得到v。
也便是说，给定新的t、y和x，可以得到对应新的位移，从而得到新的速率分布。

现在对付这个方程的解法存在许多争议，由于这个问题不是适定的，也便是说纵然人们创造了一个解，也不能确定其是否是唯一的。
不仅如此，还有许多物理学限定无法求解。

他们希望通过限定位移知足波函数方程(2)来产生位移，与丢失函数结合：

知足：

：

个中表示预测位移与目标位移间的平方差，的值要只管即便靠近0。

这表示什么呢？简而言之，代表了一个正则化过程：

他们在通过限定丢失函数范围（打消不符合微分方程的解）帮助算法找到最优解。

神经网络是如何得到“物理信息”的呢？通过微分方程正则化而已。

在文末，我想说：

通过几分钟的阅读，本文可以总结为几个方面：

· 丢失函数是什么（第2部分）

· 正则化是什么（3.1部分）

· 微分方程是什么（第1部分）

· 物理信息是什么（3.2部分）

希望你对物理信息神经网络有了一定的理解~

作者：Piero Paialunga

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翻译：zhenni

审校：C&C

原文链接：

https://towardsdatascience.com/physics-and-artificial-intelligence-introduction-to-physics-informed-neural-networks-24548438f2d5